\subsection{垂直于弦的直径}\label{subsec:czjh2-7-3}

把一张圆形的纸片沿着一条直径对折，可以看到，直径两侧的两个半圆能够互相重合。
这说明圆是轴对称图形，而直径所在的直线就是它的对称轴。下面我们来证明这个结论。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{4.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-11}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-11}
\end{wrapfigure}

如图 \ref{fig:czjh2-7-11}， 设 $CD$ 是 $\yuan\,O$ 的任意一条直径，$A$ 为 $\yuan\,O$ 上任意一点。
过点 $A$ 作 $AA' \perp CD$， 交 $\yuan\,O$ 于点 $A'$，垂足为 $M$。连结 $OA$、$OA'$。

在 $\triangle AOA'$ 中，

$\because$ \quad $OA = OA'$， $AA' \perp CD$，

$\therefore$ \quad $AM = MA'$。

即 $CD$ 是 $AA'$ 的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点 $A$，
在圆上都有关于直线 $CD$ 的对称点 $A'$，因此 $\yuan\,O$ 关于 $CD$ 对称。即

\begin{xingzhi}
    圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴。
\end{xingzhi}

从上面的证明，我们知道，如果 $AA' \perp CD$，那么点 $A$ 和 $A'$ 是对称点，
所以 $AM$ 和 $A'M$、$\yuanhu{AD}$ 和 $\yuanhu{A'D}$ 能够互相重合。于是有下面定理：

\begin{dingli}[垂径定理]
    垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
\end{dingli}

由垂径定理，可以推出下面的推论：

\begin{tuilun}[推论1]
    （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
    （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦；
    （3）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
\end{tuilun}

\begin{tuilun}[推论2]
    圆的两条平行弦所夹的弧相等。
\end{tuilun}

如图 \ref{fig:czjh2-7-12} 中， $AB \pingxing CD$， 则 $\yuanhu{AC} = \yuanhu{BD}$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-12}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-12}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-13}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-13}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 平分已知 $\yuanhu{AB}$。

已知： $\yuanhu{AB}$（图 \ref{fig:czjh2-7-13}）。

求作：$\yuanhu{AB}$ 的中点。

\zuofa 1. 连结 $AB$。

2. 作 $AB$ 的垂直平分线 $CD$，交 $\yuanhu{AB}$ 于点 $E$。

点 $E$ 就是所求 $\yuanhu{AB}$ 的中点。

证明略。


\liti 一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥（图 \ref{fig:czjh2-7-14}）的桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，
求桥拱的半径（精确到 0.1 米）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{10.5cm}
        \centering
        \includegraphics[width=10cm]{../pic/czjh2-ch7-14.png}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-14}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-15}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-15}
    \end{minipage}
\end{figure}

\jie 如图 \ref{fig:czjh2-7-15}， 用 $\yuanhu{AB}$ 表示桥拱， $\yuanhu{AB}$ 的圆心为 $O$、半径为 $R$ 米。
经过圆心 $O$ 作弦 $AB$ 的垂线 $OD$， $D$为垂足， 与 $\yuanhu{AB}$ 相交于点 $C$。
根据垂径定理， $D$ 是 $AB$ 的中点， $C$ 是 $\yuanhu{AB}$ 的中点， $CD$ 就是拱高。由题设
\begin{gather*}
    AB = 37.4 \douhao  CD = 7.2 \douhao \\
    AD = \exdfrac{1}{2} AB = \exdfrac{1}{2} \times 37.4 = 18.7 \douhao \\
    OD = OC - DC = R - 7.2 \juhao
\end{gather*}

在 $Rt \triangle OAD$ 中，由勾股定理，得
$$ OA^2 = AD^2 + OD^2 \douhao $$

即 $R^2 = 18.7^2 + (R - 7.2)^2 \juhao $

解这个方程，得 $R \approx 27.9$（米）。

答： 赵州石拱桥的桥拱半径约为 27.9 米。


\begin{lianxi}

\xiaoti{（口答）}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[-1em]{平分一条弧的直径有什么性质？}

    \xxt{平分弦和它所对的一条弧的直线有什么性质？}

    \xxt{垂直弦，并平分弦所对的一条弧的直线有什么性质？}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{在平径为 50 mm 的 $\yuan\,O$ 中， 有长 50 mm 的弦 $AB$。计算:}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{点 $O$ 与 $AB$ 的距离；}

    \xxt{$\angle AOB$ 的度数。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{以点 $O$ 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 $AB$ 和小圆相交于点 $C$ 和 $D$。
    求证： $AC = BD$。
}

\end{lianxi}

